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Prix de tête d'un call ATM (vol 16 %, 1 an) quand les taux ne sont pas nuls

Autre question de mon entretien en structuration FX chez BNP : que vaut le prix d'un call ATM, vol 16 %, maturité 1 an, sachant que les taux sont non nuls ? La réponse devait être faite de tête. J'ai proposé l'approximation 0,4 × S × σ × √T, et ce n'était pas la bonne réponse. Comment vous l'auriez traitée ?

Toucan Paisible 980Auteur du sujet21 juin 2026

8 réponses

Flamant Rapide 540
Flamant Rapide 540il y a 3 mois
0,4 × 0,16 × 1 (sous-jacent ATM) × 1 pour la maturité, non ?
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 2 mois
D'après le recruteur, cette approximation ne fonctionne que quand r est nul. Ici r n'est pas nul, donc ça ne suffit pas.
Lièvre Posé 328
Lièvre Posé 328il y a 2 mois
Quand le taux est positif, c'est 0,5 × S × σ × √T.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 2 mois
Le 0,4 vient du fait qu'ATM avec r = 0, d1 = σ√T/2. Mais par définition d1 = (ln(S/K) + (r + σ²/2)T) / (σ√T). ATM, S = K, donc d1 = (r + σ²/2)T / (σ√T) : dès que r est non nul, le terme en r change le résultat.
Faucon Calme 675
Faucon Calme 675il y a 2 mois
Avec une maturité d'un an, T = 1, donc tu peux l'enlever du calcul.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 2 mois
J'ai demandé à un pote qui connaît bien le sujet, voici sa réponse. Avec des taux nuls, la formule usuelle donne 6,4 (spot à 100). Maintenant, les taux passent de 0 à 1 %. Le vendeur du call doit se delta-hedger en achetant du sous-jacent : 50 (delta ATM de 0,5 × spot de 100). Acheter ces 50 coûte 1 % de plus que si les taux étaient nuls, soit 0,5 à ajouter au prix. On arrive à 6,4 + 0,5 = 6,9.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 2 mois
Petit complément de sa part : il manque la capitalisation. La prime de 6,4 placée à 1 % rapporte 0,064, qu'il faut retrancher pour rester sans arbitrage. Prix final : 6,4 + 0,5 − 0,064 = 6,836.
Équipe Advance
Équipe AdvanceRéponse vérifiéeVérifiéil y a 2 mois
Petite correction : 0,5 × S × σ × √T ne correspond à rien, le 0,4 vient de 1/√(2π) et ne dépend pas des taux. Avec des taux non nuls, un call ATM spot est dans la monnaie forward, donc tu ajoutes l'effet du rho : ρ ≈ K·T·N(d2) ≈ 100 × 0,47, soit environ +0,47 pour 1 % de taux. Ça donne 6,38 + 0,47 ≈ 6,85, ce qui est exactement le prix Black-Scholes (S = K = 100, σ = 16 %, r = 1 %, T = 1).

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