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Question d'entretien : pricer un produit payant si le CAC > 7300 à 1 an ET < 7300 à 2 ans

Un pote a eu cette question en entretien, a priori un classique à la SG, et je n'ai pas la réponse. Le CAC 40 vaut aujourd'hui 7 300 points. Tu proposes au client le deal suivant : dans 2 ans, tu lui paies 1 million si le CAC vaut plus de 7 300 dans 1 an ET moins de 7 300 dans 2 ans. Quel est le prix de ce produit, dans un cadre Black-Scholes avec des taux nuls ?
Hibou Serein 281Auteur du sujet6 septembre 2026

13 réponses

  1. Alpaga Rapide 618
    Alpaga Rapide 618il y a 13 j
    Intuitivement, je dirais que ça revient à pricer un call digital à la monnaie maturité 1 an plus un put digital à la monnaie maturité 2 ans. Sans dividendes et à taux nuls, il y a une approximation du prix d'une digitale. Sinon, avec un call spread 1 an et un put spread 2 ans, tu dois pouvoir y arriver.
  2. Bison Vif 175
    Bison Vif 175il y a 13 j
    Avec ta décomposition, tu touches le paiement si l'une OU l'autre condition est remplie, non ? Moi j'aurais plutôt utilisé le principe de réflexion (les « miroirs ») : ça évite justement de faire du calcul stochastique poussé. Mais je peux me tromper, je peux regarder dans le Green Book, il y a un exercice similaire.
  3. Alpaga Rapide 618
    Alpaga Rapide 618il y a 13 j
    Ah oui pardon, c'est l'intersection, donc mon truc ne marche pas. Par contre je ne pense pas que ce soit du calcul sto, il y a sûrement un petit trick.
  4. Tatou Lucide 971
    Tatou Lucide 971il y a 13 j
    Une option digitale à double barrière ne ferait pas l'affaire ?
  5. Flamant Brillant 808
    Flamant Brillant 808il y a 13 j
    J'ai rédigé un calcul complet, à vérifier : j'écris le prix comme une double intégrale sur la densité jointe du sous-jacent à 1 an et à 2 ans. Au début je voulais utiliser un argument de symétrie, mais la loi lognormale n'est pas symétrique.
  6. Alpaga Rapide 618
    Alpaga Rapide 618il y a 12 j
    Mathématiquement ça m'a l'air bon. Mais le fait qu'il précise taux nuls et sous-jacent à la monnaie, ce n'est pas un hasard : c'est pour pouvoir utiliser les approximations de pricing. Il doit y avoir un moyen d'avoir une approximation assez facilement.
  7. Panda Lucide 855
    Panda Lucide 855il y a 12 j
    Question sur ton calcul : supposons que la vol soit infinie. Dans ta dernière intégrale, la partie en x vaudrait 1/2 et celle en y vaudrait 0, donc le prix serait nul. Ça voudrait dire que plus la vol monte, plus le prix baisse, donc que tu es tout sauf long vol. Or par construction le produit me semble long vol : sur la première année le sous-jacent doit passer au-dessus de 7 300, puis sur la seconde repasser en dessous. La vol devrait donc augmenter le prix, et en tout cas il devrait rester strictement positif. T'en penses quoi ?
  8. Flamant Brillant 808
    Flamant Brillant 808il y a 12 j
    Bonne remarque, je n'avais pas fait gaffe. Ma première intuition : le sous-jacent suit une loi lognormale, qui n'est pas symétrique. Log(S_t) suit une loi normale de moyenne −σ²t, donc quand σ est grand, le sous-jacent a plus tendance à baisser qu'à monter : avec une vol infinie, il va très probablement chuter dès la première année. Par contre ce n'est pas un « ou » : je te paie seulement si les deux conditions sont vérifiées à la fois. J'avais aussi fait une erreur de calcul, j'en ai refait une version plus propre.
  9. Toucan Paisible 980
    Toucan Paisible 980il y a 12 j
    Pour la double barrière, je ne pense pas. Ce dont tu parles, c'est une double no touch, qui paie si le sous-jacent reste entre deux barrières : c'est un tout autre produit, et pour la pricer il suffit de la répliquer avec des one touch. Ici, c'est un produit path-dependent très utilisé en equity, qu'on price usuellement en Monte Carlo. Et dans le calcul, il me semble qu'il manque au minimum la densité jointe et le jacobien, non ?
  10. Flamant Brillant 808
    Flamant Brillant 808il y a 11 j
    La densité jointe est déjà dans ma dernière formule. Le jacobien, aucune idée.
  11. Toucan Paisible 980
    Toucan Paisible 980il y a 11 j
    J'en ai parlé à un pote : apparemment c'est une question classique en structuration exotique, ils avaient bossé ce genre d'exercices avec leur prof en préparant les entretiens.
  12. Colibri Éveillé 703
    Colibri Éveillé 703il y a 10 j
    Franchement, vous avez l'air de vous compliquer la vie à mort. En entretien en trading ou en structuration, si on te demande d'écrire des équations, ce sont des trucs rapides, pas quatre pages. Je n'ai aucune idée de si la correction est bonne, mais ce n'est probablement pas ce que l'intervieweur recherche. À moins que ce soit pour un poste de quant, ou peut-être dans un fonds, mais j'en doute vu que c'est une question sur des produits structurés.
  13. Équipe Advance
    Équipe AdvanceRéponse vérifiéeVérifiéil y a 10 j
    Il y a bien un petit trick : le payoff ne dépend que du CAC à 1 an et à 2 ans, donc prix = 1M × P(S1 > 7300, S2 < 7300). Avec X = ln(S1/S0) et Y = ln(S2/S1), deux gaussiennes indépendantes quasi centrées quand la vol est faible, P(X > 0, X + Y < 0) = 1/4 + arcsin(ρ)/(2π) avec ρ = corr(X, −(X+Y)) = −1/√2, soit 1/8 : le produit vaut environ 125 000 € (≈ 132 000 € avec 20 % de vol, via une normale bivariée). Au passage, à taux nuls la moyenne de ln(S_t/S_0) est −σ²t/2, pas −σ²t. Le prix monte légèrement avec la vol pour des niveaux réalistes puis tend vers 0 quand σ → ∞, donc « long vol » et « prix nul à vol infinie » ne se contredisent pas.

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