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Question d'entretien quant model risk : pricer une option forward start sous Black-Scholes

Quelqu'un peut m'aider sur les options forward start et les options de performance ? J'ai eu cette question en entretien pour un poste de quant model risk associate et je n'ai pas su répondre : quel est le prix, sous Black-Scholes, d'une option forward start qui démarre en T1, arrive à maturité en T2 et paie S(T2) − S(T1) ? Je ne vois pas comment on la price.

Panda Agile 131Auteur du sujet3 août 2026

8 réponses

Colibri Éveillé 703
Colibri Éveillé 703il y a 1 mois
Genre des cliquets ? Je pense que la réponse attendue, c'était de parler d'option forward start / cliquet et d'expliquer la difficulté de pricer ces options correctement, notamment à cause de la vol forward. Et si c'est vraiment sans le max, il fallait peut-être juste dériver le prix à la main.
Panda Agile 131
Panda Agile 131Auteuril y a 1 mois
Si, pardon, avec le max : le payoff c'est max(S(T2) − S(T1) − K, 0).
Corbeau Curieux 792
Corbeau Curieux 792il y a 1 mois
Il ne suffit pas d'utiliser la formule de Black-Scholes avec ce payoff et d'actualiser au taux sans risque pour tenir compte du départ différé ?
Panda Agile 131
Panda Agile 131Auteuril y a 1 mois
Aucune idée. Apparemment on peut changer de mesure, mais je n'arrive pas à voir comment.
Cerf Rapide 338
Cerf Rapide 338il y a 1 mois
Je pense que la formule attendue était V0 = S0 × (1 − e^(−r(T2−T1))).
Panda Agile 131
Panda Agile 131Auteuril y a 1 mois
Comment ça ? Ta formule n'a rien de stochastique, elle est déterministe.
Cerf Rapide 338
Cerf Rapide 338il y a 1 mois
Attends, j'ai regardé mon cours, j'avais déjà traité une question similaire en produits dérivés. En T1, l'option sera ATM, puisque le strike est fixé au niveau du spot en T1. Dans Black-Scholes, grâce à la propriété d'homogénéité, le prix d'une option ATM est linéaire par rapport au spot. Donc le prix de cette structure aujourd'hui équivaut à celui d'un call ATM standard de maturité T2 − T1, multiplié par le spot actuel S0.
Équipe Advance
Équipe AdvanceRéponse vérifiéeVérifiéil y a 1 mois
Pour clarifier les trois cas sous Black-Scholes sans dividendes : sans max, le payoff S(T2) − S(T1) vaut S0(1 − e^(−r(T2−T1))). Avec max(S(T2) − S(T1), 0), l'option est ATM en T1 et par homogénéité son prix vaut S0 × [N(d1) − e^(−rτ)N(d2)], avec τ = T2 − T1, d1 = (r + σ²/2)√τ/σ et d2 = d1 − σ√τ : c'est un call ATM de maturité τ pour un spot de 1, multiplié par S0. En revanche, avec un strike absolu K, la valeur en T1 est un call de strike S(T1) + K qui n'est plus linéaire en S(T1) : il faut intégrer sur la loi de S(T1), et il n'y a pas de formule fermée aussi simple.

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