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Entretien structuration : espérance de W(T) sachant W(t) et loi de W(t) sachant W(T)

Nouvel entretien pour un poste en structuration, 30 minutes, et j'ai eu une question et demie. 1) Que vaut E[W(T) | W(t)], avec t < T et W un mouvement brownien ? 2) Quelle est la loi de W(t) sachant W(T), toujours avec t < T ? Je n'ai rien su répondre sur le moment. Vous auriez répondu quoi ?

Toucan Paisible 980Auteur du sujet9 août 2026

9 réponses

Hibou Serein 281
Hibou Serein 281il y a 1 mois
Elles ne sont pas faciles. Pour la deuxième, je dirais que ça suit quand même une loi normale. Pour la première, aucune idée, 0 ?
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Attention : E[W(t)] = W(0) = 0 uniquement si tu n'as pas d'information. Conditionnellement, W est une martingale, donc E[W(T) | W(t)] = W(t). Et si on lit la question comme le ratio W(T)/W(t) sachant W(t), W(t) devient une constante : espérance 1, variance (T − t)/W(t)².
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 1 mois
Oui, la première est simple en fait : martingale, donc E[W(T) | W(t)] = W(t). Il fallait bien lire « sachant », pas une division.
Zèbre Intrépide 773
Zèbre Intrépide 773il y a 1 mois
Pour la deuxième, selon moi c'est une loi normale : le mouvement brownien est un processus gaussien, donc ses marginales sont normales. Je passerais par le vecteur gaussien (W(t), W(T)), qui suit une loi normale bivariée. Trouver la loi jointe puis la marginale en 30 minutes, c'est tendu ; ils attendent sans doute surtout l'espérance et la variance.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 1 mois
J'ai essayé dans ce sens, mais au départ ça revenait à dire que W(t) est proportionnel à W(T), donc qu'ils ont la même loi, et intuitivement c'est faux.
Flamant Brillant 808
Flamant Brillant 808il y a 1 mois
La deuxième, c'est un pont brownien entre 0 et W(T). Une fois que tu as le nom de la variable, tu as toutes ses propriétés, tu les trouves facilement.
Zèbre Intrépide 773
Zèbre Intrépide 773il y a 1 mois
Je me pose quand même une question : peut-on conclure qu'une loi est normale juste avec l'espérance et la variance ? Pour moi il faut d'abord justifier qu'on est dans un processus gaussien. Comme les marginales sont normales, la variable conditionnelle l'est aussi, et ses paramètres sont l'espérance et la variance qu'on a calculées.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980Auteuril y a 1 mois
Une combinaison linéaire de variables gaussiennes est gaussienne, donc la loi est normale.
Équipe Advance
Équipe AdvanceRéponse vérifiéeVérifiéil y a 1 mois
Pour compléter la deuxième question : W(t) sachant W(T) suit une loi normale de moyenne (t/T)·W(T) et de variance t(T − t)/T. Démo rapide : écris W(t) = (t/T)·W(T) + [W(t) − (t/T)·W(T)] ; le crochet a une covariance nulle avec W(T) (t − (t/T)·T = 0). Comme (W(t), W(T)) est un vecteur gaussien, covariance nulle implique indépendance, et le crochet a pour variance t − t²/T.

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