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Call ATM delta-hedgé, vol réalisée > implicite : pourquoi le PnL peut être négatif ?

Je bloque sur un exercice sans correction. On est long d’un call ATM, delta-hedgé sur un an, et la vol réalisée sur l’année est supérieure à la vol implicite au moment de l’achat. La question : le PnL peut-il quand même être négatif ? Comme on est long call, gamma > 0, et comme σ réalisée > σ implicite, je ne vois vraiment pas comment.

Phoque Prudent 789Auteur du sujet23 juillet 2026

21 réponses

Hibou Prudent 885
Hibou Prudent 885il y a 1 mois
Pense à l’impact gamma et thêta. Si ton option est trop OTM ou ITM, l’argent que tu vas gagner sur la vol réalisée n’est pas assez conséquent pour combler ton thêta, ta prime. Je ne sais pas si c’est clair.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Tu as la prime de ta position. Là tu es peut-être à break even, mais tu as dépensé des sous au début, je dirais. Et tu as d’autres risques aussi.
Zèbre Modeste 921
Zèbre Modeste 921il y a 1 mois
PnL = max(S − K, 0) − prime. Peut-être l’effet d’érosion du temps (thêta) ou le coût de portage.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980il y a 1 mois
Tout dépend de ton hedge également.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Le thêta est déjà pris en compte. PnL gamma + PnL thêta est positif si la vol réalisée en re-hedgeant est supérieure à la vol implicite au moment de l’achat.
Toucan Paisible 980
Toucan Paisible 980il y a 1 mois
Si les mouvements du sous-jacent sont trop rapides ou se produisent en gap, ton hedge discret ne les capte pas. Donc tu ne monétises pas efficacement ton gamma malgré une vol réalisée élevée, d’où un PnL négatif.
Phoque Prudent 789
Phoque Prudent 789Auteuril y a 1 mois
En vrai, ça peut aussi être un impact du vega, qu’on a négligé dans la démonstration de la formule PnL = ½ · Γ · S² · (σr² − σi²) · Δt.
Hibou Prudent 885
Hibou Prudent 885il y a 1 mois
Pas forcément. Si tu es deep OTM ou ITM, ton gamma est très faible même si VR > VI. Tu ne vas pas gagner assez sur le delta-hedging pour combler le thêta et la prime, à condition que la VR > VI se réalise quand tu es dans ces zones.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Ici le call est ATM. Et de toute façon on a toujours cette formule : thêta = ½ · Γ · (S · vol implicite / 16)². Donc même OTM ou ITM, je dirais qu’on a toujours la formule du PnL. Dis-moi si je me trompe.
Hibou Prudent 885
Hibou Prudent 885il y a 1 mois
Oui, j’avais mal lu l’énoncé. Tu as raison.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Donc je dirais : si la vol réalisée n’est pas celle mesurée aux points où tu te re-hedges, alors effectivement ce qui importe, c’est quand tu te re-hedges. Si la vol réalisée est bien celle mesurée aux moments où tu te re-hedges, alors ce sont les autres grecques et la prime.
Hibou Prudent 885
Hibou Prudent 885il y a 1 mois
J’ai réfléchi : même si l’option est ATM au départ, elle peut devenir ITM ou OTM pendant l’année, ce qui réduit ton gamma. Si la vol réalisée plus élevée se produit quand le gamma est faible, les pertes en thêta ne sont pas compensées : le PnL reste négatif malgré VR > VI.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Mais le thêta se réduit aussi énormément à ce moment-là.
Hibou Prudent 885
Hibou Prudent 885il y a 1 mois
Oui, mais en général le thêta reste plus élevé. Je ne dis pas que c’est l’unique cas qui explique un PnL négatif, mais c’en est un pour moi. Si tu regardes, fais-moi un retour, ça m’intéresserait d’en reparler.
Hibou Discret 281
Hibou Discret 281il y a 1 mois
On est d’accord que pour le PnL il y a 5 formules pour les 5 sensibilités ? Ou non ?
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
En soi tu as une seule formule : regarde le développement de Taylor, c’est ça que tu utilises. Mais des fois, tu te fiches des effets de certains termes.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
Bon, pour moi on a toujours thêta = Γ/2 × (mouvement attendu)². Donc quelle que soit ta moneyness, la formule tient sur la vol implicite et la vol réalisée. Je peux rater un détail.
Hibou Prudent 885
Hibou Prudent 885il y a 1 mois
Pour moi, le thêta ne dépend pas uniquement du spot, mais aussi de la moneyness, de la vol implicite et du temps restant.
Colibri Éveillé 703
Colibri Éveillé 703il y a 1 mois
C’est une question d’entretien assez difficile. Le fait que la vol réalisée à la fin de l’année soit supérieure à la vol implicite n’est en fait pas suffisant pour savoir si oui ou non on a gagné de l’argent sur le delta-hedge. Pour vous orienter : imaginez un scénario où, les 6 premiers mois, la vol réalisée est largement en dessous de l’implicite, puis largement au-dessus les 6 derniers mois, avec une vol annualisée qui dépasse l’implicite. Vous avez gagné de l’argent ou pas ? Même question dans l’autre sens : vol réalisée très haute les 6 premiers mois, puis basse les 6 derniers, toujours avec une moyenne annuelle supérieure à l’implicite. En comparant les deux scénarios, notamment l’allure de vos grecques à t = 0 et à t + 6 mois, vous devriez trouver la réponse.
Bison Vif 175
Bison Vif 175il y a 1 mois
OK, en gros ce qui compte, c’est de gagner quand le gamma est gros.
Équipe Advance
Équipe AdvanceRéponse vérifiéeVérifiéil y a 1 mois
Pour résumer proprement : en couvrant à la vol implicite σ_i, ton PnL à maturité vaut à peu près Σ ½·Γ_t·S_t²·(σ_réalisée,t² − σ_i²)·Δt, et le thêta est lui-même −½·Γ·S²·σ_i², donc thêta et gamma s'éteignent ensemble quand tu t'éloignes de la monnaie. Le PnL est une moyenne de l'écart de variance pondérée par le gamma dollar du moment : si la vol réalisée est forte quand l'option est loin de la monnaie et faible quand tu es ATM proche de la maturité (gamma énorme), tu perds malgré une vol annuelle au-dessus de l'implicite. S'y ajoutent le hedge discret et les gaps ; le vega, lui, ne change pas le PnL final si tu gardes l'option jusqu'à maturité.

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